「誠之」は、儒学の古典『中庸（ちゅうよう）』の「誠者天之道也，誠之者人之道也」から採られたもので、「誠之人道」に由来するそうです。
 意味としては、「自然な誠とは天の道である。これを何とか努力することによって誠にしようとするのが、人の道である。」です。
 もっと詳しく言うと、「誠とは、一切が真実で、うそ・偽りのないことです。でも、人間は生まれつき、天から『誠』を与えられているものの、欲があるため、誠になりきれない。それをなんとか誠にしていくのが人の道であり、そのために善を、固く守り続けることが必要なのだ。」という意味になると思います。
 校名には、このような精神を持った子どもを育む学校になってほしいという、その当時の関係者の願いが込められていたのだと思います。